NUMERICAL EXPERIMENT · 2026
从确定性方程，
看见混沌。
两个经典系统，四幅数值图像。沿着轨迹观察 Lorenz 双翼吸引子，再沿参数观察 Logistic 映射从稳定走向复杂的分岔。
01 / 02LORENZ ATTRACTOR
实验概览
规则很简单，轨迹却很丰富。
程序直接求解或迭代模型方程。图像来自计算结果，没有加入随机噪声。下方分别展示状态随时间变化、相空间中的吸引子，以及参数扫描得到的分岔结构。
02经典系统
04数值图像
01 / CONTINUOUS SYSTEM
Lorenz 系统
连续时间微分方程形成经典的双翼吸引子。轨迹在两侧盘旋，并在双翼之间切换。
dx/dt = σ(y − x)dy/dt = x(ρ − z) − ydz/dt = xy − βz
σ = 10 · ρ = 28 · β = 8/3 · 初值 (1, 1, 1)
x(t) 随时间振荡，展示轨迹在两翼间切换时的状态变化。
去除前 5 个时间单位的暂态后，状态空间呈现双翼结构。
02 / DISCRETE SYSTEM
Logistic 映射
一次迭代只需要一个公式。改变增长参数 r，长期状态会从固定点经历周期翻倍，并形成密集的分岔图。
xn+1 = r xn(1 − xn)
演化：r = 3.9，x₀ = 0.2 · 分岔扫描：2.5 ≤ r ≤ 4.0
在 r = 3.9 时，状态在允许区间内呈现不规则变化。
r = 3 附近发生首次周期翻倍；继续增大 r 可看到更多分叉和周期窗口。
REPRODUCE THE EXPERIMENT
自己运行一次。
源代码、依赖说明、数值数据和全部图像都可以下载。安装依赖后，在代码所在目录执行以下命令。
python3 -m pip install -r requirements.txt
python3 chaos_homework.py